博弈论




博弈论

博弈树

重点在于min和max状态间的关系,以及每个树节点的评分值.以及优化的Alpha-Beta剪枝.省略不写。

SG函数

基本概念

在公平的组合游戏中(游戏规则对于两个玩家不加以区分),可以把所有有可能出现的状态看作是图的节点,如果从一个状态可以通过一步转移到达另一个状态,则两点间有一条有向边,这样就得到了一个状态图.

巴什博奕

以巴什博奕为例,一共有n个物品,两人轮流取,一次最少取走1个最多去走m个,最后取光的人获胜。下图展示了n=6,m=3的时候的状态图,节点内的数字表示当前状态剩下的物品的个数.

假设游戏不会出现平局,即状态图是无环图的话,所有的状态可以分为两种,P态和N态。P态表示该状态对于前一个玩家来说是必胜态,而N态表示该状态对于下一个玩家来说是必胜态。例如对于n=6,m=3的巴什博奕来说,0个物品显然是P态,而还剩1、2或3个物品的状态都是N态。

一个状态被称为终止状态,如果当前状态下游戏不能再继续进行,譬如巴什博奕种物品都已经被取光了,在大部分游戏规则中,终止状态都是P态,所以如果不加特殊说明,一下都假设P态为终止状态.

从定义可知,任意一个P态,他要么是终止状态,要么他所有可以转移到的状态都是N态,而对于任意一个N态,他至少有一个后继状态是P态.

SG函数

SG函数是这样定义的:对于任意状态x,他的SG函数值g(x)=mex{g(y)|y是x的后续状态},其中mex是一个对于非负整数集合S的运算, mex(S)为S中没有出现的最小负整数 。对于一个终止状态,因为他没有后继状态,所以他的SG函数值是0.

还是以上面的巴什博奕为例:

n=6,m=3.用Si表示还剩i个物品的状态。S0是终止状态,所以g(S0)=0。S1的唯一后继状态是S0,所以g(S1)=1,S2可以转移到S1和S0,所以g(S2)是2.因为S3可以转移到S0,S1,S2,所以g(S3)=3.对于S4来说,它可以转移到S1,S2,S3(1,2,3),所以g(S4)=0.以此类推可以知道g(S5)=1,g(S6)=2.

如果知道一个状态SG函数值,则可以快速的判断当前状态时P态还是N态.对于一个函数,如果状态值是0则是P态,否则就是N态.

g(S4),P态,先手必败(后继都是N态);g(S5),N态(后继有P态),先手必胜.

KuangBin介绍博弈

(一)巴什博奕(Bash Game):

只有一堆n个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规定每次至少取一个,最多取m个。最后取光者得胜。

显然,如果n=m+1,那么由于一次最多只能取m个,所以,无论先取者拿走多少个,
后取者都能够一次拿走剩余的物品,后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则:如果
n=(m+1)r+s,(r为任意自然数,s≤m),那么先取者要拿走s个物品,如果后取者拿走
k(≤m)个,那么先取者再拿走m+1-k个,结果剩下(m+1)(r-1)个,以后保持这样的
取法,那么先取者肯定获胜。总之,要保持给对手留下(m+1)的倍数,就能最后获胜。
这个游戏还可以有一种变相的玩法:两个人轮流报数,每次至少报一个,最多报十
个,谁能报到100者胜。

(二)威佐夫博奕(Wythoff Game):

有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。

这种情况下是颇为复杂的。我们用(ak,bk)(ak ≤ bk ,k=0,1,2,…,n)表示
两堆物品的数量并称其为局势,如果甲面对(0,0),那么甲已经输了,这种局势我们
称为奇异局势。前几个奇异局势是:(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,
10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12,20)。

可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k,奇异局势有
如下三条性质:

1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
由于ak是未在前面出现过的最小自然数,所以有ak > ak-1 ,而 bk= ak + k > ak
-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性质1。成立。
2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
事实上,若只改变奇异局势(ak,bk)的某一个分量,那么另一个分量不可能在其
他奇异局势中,所以必然是非奇异局势。如果使(ak,bk)的两个分量同时减少,则由
于其差不变,且不可能是其他奇异局势的差,因此也是非奇异局势。
3。采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势。

假设面对的局势是(a,b),若 b = a,则同时从两堆中取走 a 个物体,就变为了
奇异局势(0,0);如果a = ak ,b > bk,那么,取走b – bk个物体,即变为奇异局
势;如果 a = ak , b < bk ,则同时从两堆中拿走 ak – ab + ak个物体,变为奇异局
势( ab – ak , ab – ak+ b – ak);如果a > ak ,b= ak + k,则从第一堆中拿走多余
的数量a – ak 即可;如果a < ak ,b= ak + k,分两种情况,第一种,a=aj (j < k)
,从第二堆里面拿走 b – bj 即可;第二种,a=bj (j < k),从第二堆里面拿走 b – a
j 即可。

从如上性质可知,两个人如果都采用正确操作,那么面对非奇异局势,先拿者必胜
;反之,则后拿者取胜。

那么任给一个局势(a,b),怎样判断它是不是奇异局势呢?我们有如下公式:

ak =[k(1+√5)/2],bk= ak + k (k=0,1,2,…,n 方括号表示取整函数)

奇妙的是其中出现了黄金分割数(1+√5)/2 = 1。618…,因此,由ak,bk组成的矩形近似为黄金矩形,由于2/(1+√5)=(√5-1)/2,可以先求出j=[a(√5-1)/2],若a=[j(1+√5)/2],那么a = aj,bj = aj + j,若不等于,那么a = aj+1,bj+1 = aj+1 + j + 1,若都不是,那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行,一定会遇到奇异局势。

威佐夫博弈的几点判断:

非奇异局势时,先手一方只需要将当前局势变成奇异局势即可必胜

奇异局势时,后手一方只需要将非奇异局势变成奇异局势必胜

(三)尼姆博奕(Nimm Game):

有三堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。

这种情况最有意思,它与二进制有密切关系,我们用(a,b,c)表示某种局势,首
先(0,0,0)显然是奇异局势,无论谁面对奇异局势,都必然失败。第二种奇异局势是
(0,n,n),只要与对手拿走一样多的物品,最后都将导致(0,0,0)。仔细分析一
下,(1,2,3)也是奇异局势,无论对手如何拿,接下来都可以变为(0,n,n)的情
形。

计算机算法里面有一种叫做按位模2加,也叫做异或的运算,我们用符号(+)表示
这种运算。这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0。先看(1,2,3)的按位模2加的结
果:

1 =二进制01
2 =二进制10
3 =二进制11 (+)
———————
0 =二进制00 (注意不进位)

对于奇异局势(0,n,n)也一样,结果也是0。

任何奇异局势(a,b,c)都有a(+)b(+)c =0。

如果我们面对的是一个非奇异局势(a,b,c),要如何变为奇异局势呢?假设 a < b < c,我们只要将 c 变为 a(+)b,即可,因为有如下的运算结果: a(+)b(+)(a(+)b)=(a(+)a)(+)(b(+)b)=0(+)0=0。要将c 变为a(+)b,只要从 c中减去 c-(a(+)b)即可。

例1。(14,21,39),14(+)21=27,39-27=12,所以从39中拿走12个物体即可达
到奇异局势(14,21,27)。

例2。(55,81,121),55(+)81=102,121-102=19,所以从121中拿走19个物品
就形成了奇异局势(55,81,102)。

例3。(29,45,58),29(+)45=48,58-48=10,从58中拿走10个,变为(29,4
5,48)。

例4。我们来实际进行一盘比赛看看:
    甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇异局势
    乙:(1,8,9)->(1,8,4)
    甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇异局势
    乙:(1,5,4)->(1,4,4)
    甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇异局势
    乙:(0,4,4)->(0,4,2)
    甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇异局势
    乙:(0,2,2)->(0,2,1)
    甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇异局势
    乙:(0,1,1)->(0,1,0)
    甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇异局势
    甲胜。

拓展

斐波那契博弈

1、问题模型:

有一堆个数为n的石子,游戏双方轮流取石子,满足:

(1)先手不能在第一次把所有的石子取完;

(2)之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间(包含1和对手刚取的石子数的2倍)。 约定取走最后一个石子的人为赢家。

2、解决思路:

当n为Fibonacci数时,先手必败。即存在先手的必败态当且仅当石头个数为Fibonacci数。

证明:根据“Zeckendorf定理”(齐肯多夫定理):任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。如n=83 = 55+21+5+2,我们看看这个分解有什么指导意义:假如先手取2颗,那么后手无法取5颗或更多,而5是一个Fibonacci数,那么一定是先手取走这5颗石子中的最后一颗,同理,接下去先手取走接下来的后21颗中的最后一颗,再取走后55颗中的最后一颗,那么先手赢。

反证:如果n是Fibonacci数,如n=89:记先手一开始所取的石子数为y

(1)若y>=34颗(也就是89的向前两项),那么一定后手赢,因为89-34=55=34+21<2*34。

(2)y<34时剩下的石子数x介于55到89之间,它一定不是一个Fibonacci数,把x分解成Fibonacci数:x=55+f[i]+…+f[j],若,如果f[j]<=2y,那么对B就是面临x局面的先手,所以根据之前的分析,后手只要先取f[j]个即可,以后再按之前的分析就可保证必胜。

公平组合博弈(Impartial Combinatori Games)

1、定义:

(1)两人参与。

(2)游戏局面的状态集合是有限。

(3)对于同一个局面,两个游戏者的可操作集合完全相同

(4)游戏者轮流进行游戏。

(5)当无法进行操作时游戏结束,此时不能进行操作的一方算输。

(6)无论游戏如何进行,总可以在有限步数之内结束。

2、模型:给定一个有向无环图和一个起始顶点上的一枚棋子,两名选手交替的将这枚棋子沿有向边进行移动,无法移动者判负。事实上,这个游戏可以认为是所有公平组合游戏(Impartial Combinatori Games)的抽象模型。其实,任何一个ICG都可以通过把每个局势看成一个顶点,对每个局势和它的子局势连一条有向边来抽象成这个“有向图游戏”。

3、解决思路:

现在,假定我们给出两个游戏G1 和 G2。如果我们只知道单个游戏的P-状态和N-状态我们能够正确地玩好游戏和G1 + G2吗?答案是否定的。不难看出两个P-状态的和总是P-状态,P-状态和N-状态的和总是N-状态。但是两个N-状态的和既可能是P-状态也可能是N-状态。因此,只知道单个游戏的P-状态和N-状态是不够的。

为了正确地玩好游戏和我们需要推广P-状态和N-状态,它就是Sprague-Grudy函数(或者简称为g函数)

4、Sprague-Grudy定理:

令N = {0, 1, 2, 3, …} 为自然数的集合。Sprague-Grundy 函数给游戏中的每个状态分配了一个自然数。结点v的Grundy值等于没有在v的后继的Grundy值中出现的最小自然数.

形式上:给定一个有限子集 S ⊂ N,令mex S(最小排斥值)为没有出现在S中的最小自然数。定义mex(minimal excludant)运算,这是施加于一个集合的运算,表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

对于一个给定的有向无环图,定义关于图的每个顶点的Sprague-Garundy函数g如下:g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 }。

5、性质:

(1)所有的终结点所对应的顶点,其SG值为0,因为它的后继集合是空集——所有终结点是必败点(P点)。

(2)对于一个g(x)=0的顶点x,它的所有后继y都满足g(y)!=0——无论如何操作,从必败点(P点)都只能进入必胜点(N点)//对手走完又只能把N留给我们。

(3)对于一个g(x)!=0的顶点,必定存在一个后继点y满足g(y)=0——从任何必胜点(N点)操作,至少有一种方法可以进入必败点(P点)//就是那种我们要走的方法。

6、应用:

(1)可选步数为1-m的连续整数,直接取模即可,SG(x) = x % (m+1);

(2)可选步数为任意步,SG(x) = x;

(3)可选步数为一系列不连续的数,用mex(计算每个节点的值)