Wannafly 挑战赛11




A. 水

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
int main(){
    LL n;
    cin>>n;
    cout<<n+1<<endl;
    return 0;
}

B: 组合数学, 预处理阶乘逆元

因为不可能暴力,所以我们想到是推式子
我们可以把前几项放在Excel表中推一下
然后我们会发现 关于m,n的式子为

常数k*b^(m-1)*a^(n-m)

该式子即为目标结果

如何求常数k呢

设k[n][m] 为n行m列的常数

我们发现 k[n][m]=k[n-1][m]+k[n-1][m-1]
这个式子和组合数学里的 C(n,k)+C(n,k+1)=C(n+1,k+1) 相似

所以 k[n][m]=C(n-1,m-1)

但因为我们无法以O(N^2)解决这道题,所以不能用递推式求组合数

那我们就直接用 组合数的公式求

C(n,m)=n!/((n-m)!*m!)

预处理n!和n!的逆元

这里因为数组有限,无法使用递推式求逆元,

所以我们用费马小定理求逆元

a^(p-1)≡1(mod p)

则 a^(p-2) 即为 a 对于 p 的逆元.

预处理即可

当n < m时,ans=0

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD = 998244353;
const int maxn = 100000;

int a,b,n,m;
int T;

ll inv[maxn+10],fac[maxn+10];
///预处理N!的逆元
//费马小定理
/*
 *假如p是质数,且gcd(a,p)=1,那么 a^(p-1)≡1(mod p)
 *根据这个性质我们可以知道 a的逆元为a^(p-2)
 */
ll fast_pow(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1ll)ans=a*ans%MOD;
        a=a*a%MOD;
        b>>=1ll;
    }
    return ans;
}
void pre()
{
    inv[0]=1ll;
    fac[0]=1ll;
    for(int i=1;i<=maxn;i++){
        fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
        inv[i]=fast_pow(fac[i],MOD-2ll);
    }
}
ll C(ll a,ll b)
{
    return fac[a]*inv[b]%MOD*inv[a-b]%MOD;
}

int main(){
    pre();
    scanf("%d",&T);
    for(int k=0;k<T;++k){
        scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&n,&m);
        if(n<m){
            printf("0\n");
            continue;
        }
        int t=n-1,s=m-1;
        ll ans=1;

        ans=ans*C(n-1,m-1)%MOD*fast_pow(a,n-m)%MOD*fast_pow(b,m-1)%MOD;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}


/// C(N-1,M-1)*b^(M-1)*a^(N-M)
/// N<M 0