51nod 1055 最长等差数列

Type: 动态规划,双向DP,思维,技巧

题目

N个不同的正整数,找出由这些数组成的最长的等差数列。

例如:1 3 5 6 8 9 10 12 13 14
等差子数列包括(仅包括两项的不列举)
1 3 5
1 5 9 13
3 6 9 12
3 8 13
5 9 13
6 8 10 12 14

其中6 8 10 12 14最长,长度为5。

Input

第1行:N,N为正整数的数量(3 <= N <= 10000)。
第2 – N+1行:N个正整数。(2<= A[i] <= 10^9)

Output

最长等差数列的长度。

Input示例

10
1
3
5
6
8
9
10
12
13
14

Output示例

5

题解

数据范围可判是O(N^2)
一开始我一直在想如何把数字,即两个数之间的差用哈希存起来,来方便dp.
然后搜了题解发现是论文题.
被叫做LLAP问题
Length of the Longest Arithmetic Progressio

论文Link:

https://www.geeksforgeeks.org/length-of-the-longest-arithmatic-progression-in-a-sorted-array/

论文解释

这道题可以转化为:

给与一个 排过序 的集合set,我们要求这个集合中的最长等差数列的长度.

标重点: 序列是已排好序的
我们设 dp[i][j] 为以下标 i 和 j 两个元素开头的等差序列最长长度.
我们可以创建一个浮标 j 作为等差数列的中间值

初始化一个 i=j-1,k=j+1.

1.如果 set[i]+set[k] < set[j]*2

k++

2.如果 set[i]+set[k] > set[j]*2

i–

如果 set[i]+set[k]=set[j]*2

则构成等差数列,我们只需要让

dp[i][j]=(dp[j][k]==0)?3:dp[j][k]+1

如果dp[j][k]=0的话,dp[i][j]直接=3就可以了,因为 i,j,k 三个刚好构成等差数列.否则等于 dp[j][k]+1

计算完以后 i–,k++ 继续计算其他以 j 为第二个点的等差数列

倒序计算,正序反过来即可

另外: 还可以 直接将 dp 数组初始化为 2(因为每个数的等差数列至少为2).
dp[i][j]=dp[j][k]+1

另外有一个小技巧: 如果int的取值范围不大,但是数组要开很大的时候,可以用 short int,比如这道题.

Code

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn=10000;

short int dp[maxn][maxn];
int Num[maxn],ans,N;

int main(){
    while(~scanf("%d",&N)){
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=0;i<N;++i){
            scanf("%d",&Num[i]);
        }
        sort(Num,Num+N);
        ans=0;
        for(int j=N-2;j>=1;--j){
            int i=j-1,k=j+1;
            while(k<N&&i>=0){
                if(Num[i]+Num[k]>2*Num[j]){
                    --i;
                }else if(Num[i]+Num[k]<2*Num[j]){
                    ++k;
                }else{
                    dp[i][j]=(dp[j][k]==0)?3:dp[j][k]+1;
                    ans=max(ans,(int)dp[i][j]);
                    --i;++k;
                }
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}