51nod 1225 余数之和

Type:逆元,数论,思维,同余定理

直接上代码,题解在代码中,这道题有点耗时间,但挺有趣的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL mod=1e9+7;
LL N;
/*打表
void Table(int NN){
    for(int i=1;i<=NN;++i){
        printf("%04d-%04d ",i,NN%i);
    }
}
*/
LL fast_mod(LL a,LL n,LL Mod){
    LL ans=1;
    while(n){
        if(n&1){
            ans=(ans*a)%Mod;
        }
        a=(a*a)%Mod;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}

LL inv2=fast_mod(2,mod-2,mod);
///对照算法
LL hh(){
    LL n=N;
    LL ans;
    ans=n%mod*(n%mod)%mod;
    for(LL t,r,i=1;i<=n;++i) {
        t=n/i;
        r=n/t;
        ans=ans-((r-i+1)%mod*((r+i)%mod))%mod*inv2%mod*t%mod;
        while(ans<0) ans+=mod;
        i=r;
    }
    return ans;
}

///本来想的是计算当前N/i相同的数量--结果为:
///(N-tmp*i)/i 即计算在 N-当前数字*(N/i)后还有多少个数字可以
///整分给(N/i),由于这个方法利用了除法,所以处理除法溢出有点麻烦
///1e9左右就炸掉了
///乘法溢出也很麻烦

///最好的方法就是 N/tmp 理解为最后一个除以 N 等于 tmp 的数字是几

///式子: F[N]=N*N-Sigma(N/i*i | i∈[1,N])
///其中 括号内的式子的 N/i 有sqrt(n)个不同的值
///证: 设 tmp=100/i 则 tmp*i=100 故 Count(tmp)<=sqrt(100)
///并且可以看出 相同的 N/i 对应的 i 是连续的.
///即我们可以用等差数列求和公式来求 当 tmp=N/i 时 i 的和
///用等差数列求和时/2用 2的逆元来做\

///自己坐着坐着就莫名其妙和他一样了= =
LL solve(){
    LL ans=N%mod*(N%mod)%mod;
    for(LL i=1;i<=N;){
        LL tmp=N/i;
        LL t=N/tmp;
        tmp=((i+t)%mod*((t-i+1)%mod))%mod*inv2%mod*tmp%mod;
        ans=(ans%mod-tmp%mod+mod)%mod;
        i=t+1;
    }
    return ans;
}

void dui_pai(){
    for(LL i=1;i<=1000000;++i){
        N=i;
        if(hh()!=solve()) printf("%lld Faild\n",N);
    }
    puts("Done");
}

int main(){
    //dui_pai();
    while(~scanf("%lld",&N)){
        printf("%lld\n",solve());
    }
    return 0;
}

Wannafly 挑战赛11

A. 水

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
int main(){
    LL n;
    cin>>n;
    cout<<n+1<<endl;
    return 0;
}

B: 组合数学, 预处理阶乘逆元

因为不可能暴力,所以我们想到是推式子
我们可以把前几项放在Excel表中推一下
然后我们会发现 关于m,n的式子为

常数k*b^(m-1)*a^(n-m)

该式子即为目标结果

如何求常数k呢

设k[n][m] 为n行m列的常数

我们发现 k[n][m]=k[n-1][m]+k[n-1][m-1]
这个式子和组合数学里的 C(n,k)+C(n,k+1)=C(n+1,k+1) 相似

所以 k[n][m]=C(n-1,m-1)

但因为我们无法以O(N^2)解决这道题,所以不能用递推式求组合数

那我们就直接用 组合数的公式求

C(n,m)=n!/((n-m)!*m!)

预处理n!和n!的逆元

这里因为数组有限,无法使用递推式求逆元,

所以我们用费马小定理求逆元

a^(p-1)≡1(mod p)

则 a^(p-2) 即为 a 对于 p 的逆元.

预处理即可

当n < m时,ans=0

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD = 998244353;
const int maxn = 100000;

int a,b,n,m;
int T;

ll inv[maxn+10],fac[maxn+10];
///预处理N!的逆元
//费马小定理
/*
 *假如p是质数,且gcd(a,p)=1,那么 a^(p-1)≡1(mod p)
 *根据这个性质我们可以知道 a的逆元为a^(p-2)
 */
ll fast_pow(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1ll)ans=a*ans%MOD;
        a=a*a%MOD;
        b>>=1ll;
    }
    return ans;
}
void pre()
{
    inv[0]=1ll;
    fac[0]=1ll;
    for(int i=1;i<=maxn;i++){
        fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
        inv[i]=fast_pow(fac[i],MOD-2ll);
    }
}
ll C(ll a,ll b)
{
    return fac[a]*inv[b]%MOD*inv[a-b]%MOD;
}

int main(){
    pre();
    scanf("%d",&T);
    for(int k=0;k<T;++k){
        scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&n,&m);
        if(n<m){
            printf("0\n");
            continue;
        }
        int t=n-1,s=m-1;
        ll ans=1;

        ans=ans*C(n-1,m-1)%MOD*fast_pow(a,n-m)%MOD*fast_pow(b,m-1)%MOD;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}


/// C(N-1,M-1)*b^(M-1)*a^(N-M)
/// N<M 0

51nod 1120 机器人走方格 V3

Type:Lucas+Catalan序列+逆元

题目

N * N的方格,从左上到右下画一条线。一个机器人从左上走到右下,只能向右或向下走。并要求只能在这条线的上面或下面走,不能穿越这条线,有多少种不同的走法?由于方法数量可能很大,只需要输出Mod 10007的结果。

Input

输入一个数N(2 <= N <= 10^9)。

Output

输出走法的数量 Mod 10007。

Input示例

4

Output示例

10

题解

画图会发现就是一个Catalan序列,
但我一开始没理解题意,原来只是不能跨过斜线,但可以在斜线上走…

在Excel中画了一下,因为两边是对称的,所以我们只需要求一边,将最终的答案*2即可.

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL mod=10007;

LL Pow(LL a,LL b,LL p){
    LL ans=1;
    while(b){
        if(b&1)
        {
            b--;
            ans=(ans*a)%p;
        }
        b>>=1;
        a=(a*a)%p;
    }
    return ans;
}

LL Comb(LL a,LL b,LL p)
{
    if(a < b) return 0;
    if(a == b) return 1;
    if(b > a-b) b = a-b;
    LL ans = 1, ca = 1, cb = 1;
    for(LL i=0; i<b; ++i)
    {
        ca = (ca*(a-i))%p;
        cb = (cb*(b-i))%p;
    }
    ans = (ca*Pow(cb, p-2,p))%p;
    return ans;
}
LL Lucas(LL n, LL m, LL p)
{
    LL ans = 1;
    while(n && m && ans)
    {
        ans = (ans * Comb(n%p, m%p, p))%p;
        n /= p;
        m /= p;
    }
    ///如果等于0则返回1
    return ans==0?1:ans;
}

void extgcd(LL a,LL b,LL& d,LL& x,LL& y){
    if(!b){ d=a; x=1; y=0;}
    else{ extgcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); }
}
LL inv(LL a,LL n){
    LL d,x,y;
    extgcd(a,n,d,x,y);
    return d==1?(x+n)%n:-1;
}

int main(){
    LL N;
    while(cin>>N){
        N=N-1;
        LL d1,d2;
        LL x=Lucas(2*N,N,mod);
        LL d=inv(N+1,mod);
        //cout<<"Lucas: "<<x<<endl;
        //cout<<"Inv: "<<d<<endl;
        cout<<2*x*d%mod<<endl;
    }
    return 0;
}

51nod 1119 机器人走方格V2

Type: 组合数学,二项式定理,逆元

题目

M * N的方格,一个机器人从左上走到右下,只能向右或向下走。有多少种不同的走法?由于方法数量可能很大,只需要输出Mod 10^9 + 7的结果。

Input

第1行,2个数M,N,中间用空格隔开。(2 <= m,n <= 1000000)

Output

输出走法的数量 Mod 10^9 + 7。

Input示例

2 3

Output示例

3

题解

画一下图会发现这就是杨辉三角,而我们需要求的是C(N+M-2,N-1)
用逆元和递推公式算一下就可以了

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod=1e9+7;
const int maxn=1000000+10;
int m,n;

LL inv[maxn];
void init(){
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;++i){
        inv[i]=(mod-mod/i)*1ll*inv[mod%i]%mod;
    }
}

LL solve(int N,int M){
    ///ans=C(N,M)
    //cout<<N<<" "<<M<<endl;
    LL ans=1;
    for(int i=1;i<=M;++i){
        ans=ans*(N-i+1)*1ll%mod*inv[i]%mod;
    }
    return ans;
}

int main(){
    init();
    while(cin>>m>>n){
        cout<<solve(n+m-2,n-1)<<endl;
    }
    return 0;
}